Преподаватель + Сессия

Наш преподаватель по «основам права» был прикольный, общительный, но в некоторых вопросах совершенно непокобелебимый. Он не прощал опозданий — не разрешал опоздавшим присутствовать на занятиях. По части сдавания зачетов/экзаменов у него тоже особенность была, но о ней ниже.

Я к тому времени стал молодым отцом и поэтому как ни старался — у меня не получалось приходить на занятия первее преподавателя, поэтому после трех вынужденных отсутствий я уже был морально готов к тому, что на экзамене меня ждет долгая, долгая проверка знаний.

И вот, добравшись до экзамена, тяну два бумажных квадратика, на обратной стороне которых написаны цифры 31 и 32.

Преподаватель говорит: везучий вы человек, давайте зачетку. Отдаю зачетку, запрашиваю у согрупников список вопросов. Мне дают листик с 30ю вопросами. Переворачиваю его в поисках доставшихся мне 31го и 32го. Спрашиваю, а где 31й и 32й? Кто-то отвечает, что вопросов только 30.

С непониманием смотрю на преподавателя.

— Я же вам сразу сказал: давайте зачетку. Вы первый за историю кафедры, кто получает экзамен автоматом.

И протягивает мне зачетку, в которой выведено «отлично».

У преподавателя фишка была на экзамене: вопросов 30, а «квадратиков» 32. Кому доставались с номерами 31 и 32 — считалось, что на этот вопрос студент ответил исчерпывающе.

Залетайте проверить память и сообразительность → Будет интересно

Из вашей формулировки так и не ясно, нужно ли вам найти пятую первообразную (выходит, "пятообразную") или пятую производную.

Если все-таки первообразную, то не забудьте, что первообразная от sin x + cos x равно не -cosx + sin x, там еще константа:

\int (sin x + cos x) dx = -cos x + sin x + C1

\int (-cos x + sin x + C1) dx = -sin x - cos x + C1 x + C2

\int (-sin x - cos x + C1 x + C2) dx = cos x - sin x + C1 / 2 x^2 + C2 x + C3

\int (cos x - sin x + C1 / 2 x^2 + C2 x + С3) dx = sin x + cos x + C1 / 6 x^3 + C2 / 2 x^2 + C3 x + C4

Обратите внимание, четвертая первообразная от sin x + cos x - просто сама эта функция плюс любой кубический полином, это и так было понятно. Дальше всё будет циклически повторяться, только степень полинома будет повышаться.

Пятая первообразная:

\int (sin x + cos x + C1 / 6 x^3 + C2 / 2 x^2 + C3 x + C4) dx = -cos x + sin x + C1 / 24 x^4 + C2 / 6 x^3 + C3 / 2 x^2 + C4 x + C5

Так как выбор констант C1, C2, ..., C5 произволен, можно избавиться от знаменателей, и итоговый ответ:

sin x - cos x + A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E