Теория чисел

Задача про хвост «2121…21».

Докажите, что сколько бы раз Дождливая Аня ни выписала подряд без пробелов число 21, найдётся точный квадрат, десятичная запись которого оканчивается на выписанное Аней число.

У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?

Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.

Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.

Существует ли пятое и как его найти?

Существуют ли простые близнецы, у которых сумма цифр отличается в 5 раз?

А сможете ли вы уложить теплый пол, как супермонтажник?

Проверить

Может ли сумма цифр куба натурального числа оказаться в 17 раз больше суммы цифр самого числа?

Для всех натуральных k, меньших 17, это возможно. Вот наименьшие значения n, при которых сумма цифр числа n^3 ровно в k раз больше суммы цифр числа n:

1, 9, 3, 2, 144, 12, 31, 4113, 111, 20132, 41013, 20031, 103102, 2102112, 210021, 11011 (и почему этой последовательности нет в OEIS?)

Как мы видим, например, для k=14 наименьшее n оказывается уже довольно немаленьким, а именно 2102112.

Для k=17 оно либо ещё больше, либо его не существует вообще.

Было бы любопытно найти такое число или доказать, что его нет.

Прошу заметить, что число 42 (сорок-два) тоже является важным для бандуражзма числом, пусть и не таким как 11, 14 и тем более 54. Начнем с того, что это число является ответом на главный вопрос жизни вселенной и всего такого в книге "Автостопом по галактике". Автор данной книги Дуглас Адамс родился !11! марта 1952, а умер !11! мая 2001, в 49 лет. Число 11 встречалось 2 раза, а как мы помним из анализа числа 11 на 11 = 121 то есть 1+2+1, а от смены слагаемых сумма не меняется, значит 1+1+2, а 11 встречается 2 раза, бум! Дуглас связан с числом 11, значит и книга, значит и число 42! Но это еще не все!
Вышеупомянутая книга была опубликована в 1979 году. Берем 79, 79 - 54 = 25, 25 - 14 = !11! И как вы возможно могли догадаться пользуются информацией из курса математики за 3 класс 25 - 11 = !14!
Как я сказал выше Дуглас Адамс умер в 49 лет, в мае, а май 5 по счёту месяц! 49 + 5 = !54!
Если посчитать количество произведений Дугласа Адамса то мы получим 13, если еще считать экранизации то 17, однако никто не знает о его тайном произведении, которое он не опубликовал, закопал, сжёг и съел (именно в таком порядке), а после не пережил утраты такого произведения и умер от сердечного приступа. Государство разумеется сократила его смерть до последнего аспекта. Так вот, включая это произведение их 18! А 42+18 = 60, 42-18 = 24(что кстати 42 наоборот) а 60- 24 = 46, возьмем это число и 8, то есть 4*2, и сложим. Получается 54! Это только часть моего исследования, я буду продолжать доказывать причастность 42 в бандуражизме

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.