Занимательная арифметика + Теория чисел

Выписываем наименьшее простое число, затем его порядковый номер, затем следующее простое число и его порядковый номер и так далее. Всё это пишем друг за другом без пробелов. Если так написать первые 11 простых чисел с их номерами, получится число

2132537411513617719823929103111

, которое тоже простое. Красиво, правда?

Число 213253 также простое и построено по тому же принципу.
А вот третьего такого числа, кажется, нет. Во всяком случае, компьютерная проверка вплоть до первых 60 простых чисел не дала результата.
Если вдруг обнаружите новый «успешный» пример — это будет маленькая сенсация!

Задача про хвост «2121…21».

Докажите, что сколько бы раз Дождливая Аня ни выписала подряд без пробелов число 21, найдётся точный квадрат, десятичная запись которого оканчивается на выписанное Аней число.

У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?

Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.

Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.

Существует ли пятое и как его найти?

Существуют ли простые близнецы, у которых сумма цифр отличается в 5 раз?

Может ли сумма цифр куба натурального числа оказаться в 17 раз больше суммы цифр самого числа?

Для всех натуральных k, меньших 17, это возможно. Вот наименьшие значения n, при которых сумма цифр числа n^3 ровно в k раз больше суммы цифр числа n:

1, 9, 3, 2, 144, 12, 31, 4113, 111, 20132, 41013, 20031, 103102, 2102112, 210021, 11011 (и почему этой последовательности нет в OEIS?)

Как мы видим, например, для k=14 наименьшее n оказывается уже довольно немаленьким, а именно 2102112.

Для k=17 оно либо ещё больше, либо его не существует вообще.

Было бы любопытно найти такое число или доказать, что его нет.

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма любых двух цифр даёт остаток 2 при делении на третью.