Геометрия + Задача

Это задача из ЕГЭ, решается, как оказалось, очень просто в три действия, но я, честно говоря не сразу догадался. Вот условие задачи (цитата):

«В остроугольном треугольнике ABC центр описанной окружности (точка О), и центр вписанной окружности (точка I), а также вершины треугольника А и С лежат на одной окружности. Доказать, что угол ABC = 60°.»

Привожу чертеж для «удобства»:

Сразу хочу сказать, что чертеж не совсем верный, ведь описанная окружность и красная окружность, на которой лежат точки O, I, A и C должны были бы получится одного радиуса, в чем легко убедится, если начать построение с равностороннего треугольника, а потом сметить точку B по дуге BC вправо. Но в условии задачи ничего не сказано о радиусах окружностей.

В размышлениях, как точки могут делить окружность на дуги, родилась следующая задача:

На окружности произвольным образом заданы три точки A, B и C. Можно представить себе какой-то произвольный треугольник ABC, вписанный в окружность. Три новых точки A’, B’ и С’ построим следующим образом: A’ – середина дуги AB, B’ – середина дуги BC, и C' – середина дуги AC. Заметим, что новый треугольник A’B’C’ уже больше похож на равносторонний.

Повторим такое построение несколько раз, и с увеличением количества итераций мы все точнее и точнее будем приближаться к равностороннему треугольнику. Требуется доказать сходимость алгоритма.

Легкий уровень

1. Квадрат со стороной 4 см. Чему равна его площадь?

2. Прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Чему равен его периметр?

3. У треугольника стороны 3 см, 4 см и 5 см. Чему равен его периметр?

4. Окружность радиусом 7 см. Чему равен ее диаметр?

5. Круг имеет радиус 5 см. Чему равна его площадь?

6. Куб имеет ребро 2 см. Чему равен его объем?

7. У прямоугольника длина 8 см, а ширина в два раза меньше. Чему равен его периметр?

8. Боковая сторона равностороннего треугольника 6 см. Чему равен его периметр?

9. У квадрата площадь 49 см². Чему равна длина его стороны?

10. Радиус окружности 10 см. Чему равен ее периметр (длина окружности)?

Средний уровень

1. Квадрат со стороной 12 см. Чему равен его периметр и площадь?

2. У прямоугольного треугольника катеты 6 см и 8 см. Чему равна его гипотенуза?

3. У правильного шестиугольника сторона 4 см. Чему равен его периметр?

4. У треугольника стороны 5 см, 12 см и 13 см. Чему равна его площадь?

5. Куб имеет объем 27 см³. Чему равна длина его ребра?

6. У цилиндра радиус основания 5 см, а высота 10 см. Чему равен его объем?

7. Каждую сторону квадрата увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?

8. У трапеции основания 8 см и 4 см, а высота 5 см. Чему равна ее площадь?

9. Прямоугольник имеет периметр 24 см, а длина больше ширины в 3 раза. Найдите его стороны.

10. Круг имеет радиус 9 см. Чему равна его площадь?

11. Куб имеет объем 64 см³. Чему равен его периметр, если взять одну грань как квадрат?

12. У правильного восьмиугольника сторона 7 см. Чему равен его периметр?

13. Диагональ квадрата 10 см. Чему равна длина его стороны?

14. Полукруг имеет диаметр 10 см. Чему равна его площадь?

15. У прямоугольного параллелепипеда длина 10 см, ширина 4 см, высота 3 см. Чему равен его объем?

16. Диагональ прямоугольника 13 см, одна из сторон 5 см. Чему равна другая сторона?

17. Прямоугольник разделен на 2 квадрата. Если его ширина 6 см, чему равна его длина?

18. У ромба диагонали 8 см и 6 см. Чему равна его площадь?

19. В правильном треугольнике высота 6 см. Чему равна его площадь?

20. Круглый стол имеет диаметр 1.2 м. Чему равна его площадь?

Сложный уровень

1. У цилиндра радиус основания 6 см, а высота 9 см. Чему равна его площадь боковой поверхности?

2. Куб имеет площадь поверхности 96 см². Чему равен его объем?

3. Прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см вращается вокруг одного катета. Чему равен объем полученного конуса?

4. В конусе радиус основания 4 см, а высота 6 см. Чему равен его объем?

5. Треугольник со сторонами 7 см, 24 см и 25 см. Чему равна его площадь?

6. В трапеции основания 10 см и 6 см, высота 7 см. Чему равен периметр, если боковые стороны по 5 см?

7. Прямоугольник разделен на 4 квадрата одинакового размера. Если его ширина 12 см, чему равна его длина?

8. Круг имеет длину окружности 31.4 см. Чему равен его радиус?

9. У параллелограмма стороны 6 см и 8 см, а высота к большей стороне 5 см. Чему равна его площадь?

10. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 10 см, а высота 12 см. Чему равен ее объем?

11. Диагонали ромба 16 см и 30 см. Чему равен его периметр?

12. В усеченном конусе радиусы оснований 5 см и 3 см, высота 4 см. Чему равен его объем?

13. В треугольнике сторона 10 см, высота к ней 8 см. Чему равна площадь?

14. В правильном пятиугольнике сторона 6 см. Чему равна его площадь?

15. Окружность вписана в квадрат со стороной 8 см. Чему равна площадь круга?

16. У правильного тетраэдра длина ребра 6 см. Чему равен его объем?

17. У сферы радиус 4 см. Чему равен ее объем?

18. Куб со стороной 5 см разрезали на маленькие кубики со стороной 1 см. Сколько получилось кубиков?

19. У параллелограмма углы 60° и 120°. Одна сторона 10 см, а высота к ней 6 см. Чему равна площадь?

20. В бассейне длина 25 м, ширина 10 м, глубина 2 м. Сколько литров воды в нем поместится?