Докажем, например, что в произвольном треугольнике любые две стороны равны.
1) Для этого в произвольном треугольнике ABC проведем биссектрису угла ABC и серединный перпендикуляр к стороне AC, пусть они пересекаются в точке P, точка M - середина стороны AC.
2) Опустим из точки P перпендикуляры PK и PL к сторонам треугольника AB и BC, соответственно. Соединим также точку P отрезками с вершинами A и B треугольника.
3) Прямоугольные треугольники AMP и CMP равны по двум катетам, следовательно AP = CP
4) Отрезки KP = LP, так как точка P лежит на биссектрисе угла ABC, а любая точка биссектрисы лежит на равном удалении от сторон угла.
5) Прямоугольные треугольники AKP и CLP равны по катету и гипотенузе, следовательно AK = CL.
6) Прямоугольные треугольники KPB и LPB также равны по катету и гипотенузе, следовательно отрезки KB = LB.
7) Для длин сторон треугольника получаем равенство: AB = KB+AK = LB +CL = BC
Очевидно, мы неправильно предположили, что точка P лежит внутри треугольника. Попробуем размышлять по-другому. Пусть точка P лежит вне треугольника, как-то так:
Дальше повторяем наши рассуждения с первого по шестой пункт:
1) Проведем биссектрису угла ABC и серединный перпендикуляр к стороне AC, пусть они пересекаются в точке P (которая теперь лежит вне треугольника), точка M - середина стороны AC.
2) Опустим из точки P перпендикуляры PK и PL к продолжению сторон треугольника AB и BC, соответственно. Соединим также точку P отрезками с вершинами A и B треугольника.
3) Прямоугольные треугольники AMP и CMP равны по двум катетам, следовательно AP = CP
4) Отрезки KP = LP, так как точка P лежит на биссектрисе угла ABC, а любая точка биссектрисы лежит на равном удалении от сторон угла.
5) Прямоугольные треугольники AKP и CLP равны по катету и гипотенузе, следовательно AK = CL.
6) Прямоугольные треугольники KPB и LPB также равны по катету и гипотенузе, следовательно отрезки KB = LB.
7) Осталось сравнить длины сторон: AB = KB-AK = LB - CL = BC, опять получается треугольник - равнобедренный.
Это старая шутливая задача, прошу прощения, если где-то повторяюсь.
