Тригонометрия + Учеба

По мотивам Залипательная тригонометрия

В комментариях многие говорили, что всё равно не понимают, что такое синус, косинус, тангенс. Что вещи так и остались неясными. Постараюсь пролить свет, чтобы не было страха перед ними и было понятно, зачем они нужны.

Давай для начала поговорим об углах.

Представь обычную дверь. Если ты её приоткроешь и посмотришь вниз, то увидишь две линии – линия порога и линия двери. И они практически пересекаются.

И ты даже можешь представить, что чем сильнее ты ее открываешь, тем больше линии начинают расходиться. И наоборот, когда дверь закрываешь, то “расстояние” между линиями уменьшается и они практически начинают совпадать. Так вот, такое “расстояние” между линиями и называется углом.

Теперь пойдем дальше. Про треугольники, я уверен, тебе даже объяснять не надо. Ты знаешь, что треугольник – состоит из трех линий, которые образуют три угла. Т.е. между каждыми двумя линиями есть какое-то “расстояние”. Есть особые треугольники, у которых один из углов прямой, т.е. одна линия стоит строго поперек другой. Такие треугольники называются прямоугольными:

Стороны, которые образуют прямой угол – катеты, а другая сторона – гипотенуза.

Так вот, древние математики изучали геометрию как раз начиная с треугольников, линий и углов. Особенно они любили прямоугольные треугольники. Они много что-то там считали, выводили всякие формулы, доказывали и т.д. Главное, что когда они всё это делали, то стали замечать, что очень часто приходится делить один катет на гипотенузу, потом другой катет, потом катет на катет.

Подумали, посчитали и поняли одну вещь. Что если взять прямоугольный треугольник, отметить на нем линии, которые соединяют один катет и гипотенузу также под прямым углом, то деление этой линии на гипотенузу всегда будет одним и тем же числом. Класс.

А что у таких треугольников еще одинаковое? Правильно, углы. Вот и сказали, что мол давайте вот такие деления между катетами и гипотенузой как-то обозначим. Давайте, пусть, например, синус такого угла – это деление одного катета на гипотенузу. А какого катета, их же два? Ну, пусть того, который напротив этого угла. А косинус – это тогда деление другого катета на гипотенузу, т.е. прилежащего. Как запомнить и не путаться?
сИнус – прОтиволежащий
кОсинус – прИлежащий

Тангенс – это еще проще, деление противолежащего катета на прилежащий или:

Т.е. все эти функции нужны для представления отношений между катетами и гипотенузой. И запись вида sin(x) = y стоит воспринимать как "при таком угле будет такое деление противоположного катета на гипотенузу".

Конечно, дальше их будут использовать еще круче даже в таких областях, в которых, казалось бы, даже и треугольников-то нет. Но этого не хочу касаться сейчас, т.к. цель всё-таки дать представление, что этой вещи бояться не стоит.

На этих базовых вещах можно уже идти дальше. Математика прекрасна.

PS. Думаю, что стоит заранее написать, что, к сожалению, синус не поможет водить машину, готовить еду и познакомиться с девушкой. Про прикладные задачи, где его можно применять и почему тогда такую "бесполезную" вещь дают в школе, я расскажу отдельно.

.... эх если бы в мое время так тригонометрию объясняли

Картинка взята с канала Бориса Трушина.

В комментах к посту был вопрос накой нужна тригонометрия. Я тоже так думал.

Короче, история. В школе я пошёл в физмат класс, потому как хотел стать программистом, хорошо понимал физику и вообще. Но вот в программу вернулись синусы-косинусы, о которых я не знал практически ничего. Дошло до того, что в 10м классе я отхватил 9 двоек подряд. Потом их видимо подкорректировали, но в моменте было и такое.

И вот, я уже успешно отчислился из своего первого ВУЗа, т.к. там уже пошли матрицы, интегралы и т.д., причем с такой подачей, как будто мы их уже должны знать. Откуда, спрашивается, если последние полтора года школы мы только и делали, что готовились к ЕГЭ (я сдал его тогда баллов на 65 по математике, чего в сумме с физикой и русским хватило на поступление на бюджет в московский вуз и я даже не готовился, т.к. майнкрафт был интереснее))). Отчислился, значит, и пошел преподавать робототехнику (так уж вышло). Направление интересное, мне понятное, работаем.

И вот, захотелось мне сделать на досуге из нашего набора РАДАР. Ну, типа, чтобы датчик расстояния сканировал вокруг и рисовал мне на экране что он там увидел. Но тут проблема математического характера: мы имеем дальность и азимут, куда мы меряли (датчик крепится к движку с обратной связью). Как из этих двух значений получить координаты X и Y на экране, где рисовать точку? Логически, нужно спроецировать точку, которая образуется от этого угла и расстояния на эти самый оси X и Y. Только как это сделать - хз. У нас вроде прямоугольный треугольник, значит что-то с ним связанное должно помочь, но не теорема пифагора (которой я решал в школе всё подряд). Загуглил что такое синус и косинус. Нашел приложение в Play Market, где была вот такая же интерактивная картинка.... И я просто охренел. Во-первых, я никогда такого не видел, в школе даже близко не показывали. У нас мелькала единичная окружность, но не в таком виде.

То есть получается, что синус это не отношение противолежащего катета к гипотенузе (что не дает ничего), а проекция точки на единичной окружности при определенном угле на ось! Что далее просто используется в качестве коэффициента, на который мы умножаем длину нашего вектора (расстояние с датчика) с поправкой на масштаб экрана. Ну а дальше и другие темы подтянулись, когда начал гуглить их геометрический смысл.

Нам производную никогда не показывали и не рассказывали её смысл, только значение и применение в сухих формулах.
Почему так происходит? Думаю, потому, что учителя математики не знают математику и не любят её. Они просто выдают зазубренный материал по программе, не зная, как он применяется в реальных задачах. С тех пор я затаил обиду на систему образования)))

А математику объясняю ученикам на практических примерах, еще до того, как они столкнутся с этими темами в школе, успешно её применяем)

Совет учащимся математике с трудностями по тригонометрии.

Сам я закончил матфак. Иногда смотрю материалы по математике, чтобы быть в тонусе и вот наткнулся на одно видео с визуализацией тригонометрических функций. И увидел такую картинку:

Я её никогда не видел и в таком виде тригонометрические функции не воспринимал. А теперь понял, что если бы мне её показали еще в школе, то со многими вещами было бы понятнее и не надо было бы ряд вещей зубрить.

Например, просто зная теорему Пифагора, можно легко вывести:

Надеюсь, пригодится в учебе. Еще раз убеждаюсь, что математика прекрасна.

Полное видео: