Баршт родился 2 декабря 1919 г. в селе Старая Збруевка под Херсоном, в семье военнослужащих. В 1934 г. переехал с родителями во Владивосток. Окончил там среднюю школу. Учёбу совмещал с занятиями во Владивостокском аэроклубе, который окончил осенью 1938 г. В РККА с 1938 г. В том же году поступил в Читинскую лётную школу пилотов (позже школу перевели в Батайск). В 1940 г. окончил Батайскую военную авиационную школу лётчиков, получил звание младшего лейтенанта.
Баршт служил в Бийске в качестве лётчика-инструктора. Подготовил много квалифицированных лётчиков. В начале войны его перевели в запасной авиаполк для переподготовки лётчиков на новые для них «МиГи», а позднее английские «Харрикейны».
В апреле 1942 г. Баршта направили на фронт под Ржев в 179-й истребительный авиационный полк, летавший вначале на «Харрикейнах», а затем - на «Яках». Баршт вылетал на облегчённых (топливо вместо вооружения и бронеспинки) Як-1, Як-9 на разведку и, обнаруживая скопления вражеских войск, точно доносил о них. Вскоре он стал командиром звена, а затем эскадрильи.
Баршт стал одним из создателей метода корректировки артиллерийского огня с истребителя, которым в совершенстве овладел сам и обучил лётный состав своей эскадрильи. С мая 1942 г. до конца Великой Отечественной войны эскадрилья Баршта совершила около 1500 боевых вылетов, нанеся противнику крупные потери.
Сам Баршт к моменту представления к званию Героя Советского Союза совершил 365, а к концу войны - 369 боевых вылетов, из них 28 - на корректировку артиллерийского огня, 29 - на визуальную разведку, 78 - на сопровождение фоторазведчиков. Сбил 4 самолёта противника, уничтожил более 50 вражеских танков, более 15 артиллерийских батарей, много живой силы противника. В воздушных боях он был дважды ранен.
После войны Баршт продолжал службу в ВВС. В 1949 г. окончил ВВА. Служил в Прикарпатском военном округе, в Китае в качестве командира 282-го ИАП МиГ-15-бис (с июня 1953 до конца 1954 г.), командовал истребительным авиаполком МиГ-17 в составе морской авиации Тихоокеанского флота, служил начальником отдела боевой подготовки истребительной дивизии ПВО на Сахалине. В начале 1960-х гг. он был старшим инспектором авиации ПВО в Ленинграде. С 1965 г. полковник Баршт - в запасе.
