Про арксинус вы что-то загнули. Арксинус - это угол (в градусах или радианах)
Во-первых, арксинус - это как правило не угол, а число.
Многие выпускники это не вполне осознают, но не зря тригонометрия в школьном курсе делилась на два куска: сперва тригонометрия в треугольнике, на геометрии в 9 или даже 8 классе. И только потом тригонометрические функции, на уроках алгебры и начала анализа в 10 классе. Тригонометрические функции - функции от числа, а не угла, и их обратные - тоже числа, а не углы. Хотя их и можно трактовать как углы, радианная мера которых совпадает с соответствующим числом.
Во-вторых, значком "минус первой степени" нередко обозначается обратная функция вообще. Так и в России, и в США. Но в России обычно такая нотация вводится, когда с функциями начинают работать как с математическим объектом. Заметно это становится обычно в курсе матана, когда проходят производные. Тут чаще всего школьник/студент и встречает впервые запись типа
пусть x = f ⁻¹(y) = g(y), тогда g'(y) = 1 / f'(x)
И первым же примером часто рассматривают производную арксинуса.
Так что обозначать арксинус как sin⁻¹ резонно, и в Америке часто так и поступают. Тем более что американских школьников специально готовят, учат рассматривать функции как математические объекты. (Получается плохо, но это уже другой вопрос: когда десять лет ученики все больше отстают в базовой математике вплоть по элементарную алгебру, быстрый рывок в 11-12 классах в голове не укладывается.)
